Vorbemerkung

• Das Unterrichtsvorhaben knüpft an das entsprechende Unterrichtsvorhaben in der Einführungsphase an. Das Bernoulli-Experiment und die Bernoulli-Kette wurden hier bereits mit Hilfe von Wahrscheinlichkeitsbäumen auch rechnerisch behandelt.
• Im Zentrum des Unterrichtsvorhabens steht die Modellierung realer Situationen.

Angestrebter Kompetenzerwerb

• Fettdruck: Vom Kernlehrplan verpflichtend vorgegebene Kompetenzerwartungen.
• Fettdruck und Kursivdruck: Vom Kernlehrplan verpflichtend vorgegebene Kompetenzerwartungen, die über das Grundkursniveau hinausgehen.
• Normaldruck: Schulspezifische Kompetenzerwartungen.

• Ich kann Bernoulliketten zur Beschreibung entsprechender Zufallsexperimente verwenden.
• Ich weiß, dass ein Bernoulli-Experiment ein Zufallsexperiment mit den beiden Ergebnissen "Erfolg" bzw. "Treffer" und "Misserfolg" bzw. "Niete" ist.
• Ich kann Bernoulli-Experimente identifizieren und Beispiele dafür nennen.
• Ich weiß, dass eine Bernoulli-Kette der Länge n aus unabhängigen Bernoulli-Experimenten mit den Ergebnissen 1 ("Treffer") und 0 ("Niete") besteht.
• Ich kann Bernoulli-Ketten identifizieren und Beispiele dafür nennen.
• Ich kann die Binomialverteilung einschließlich der kombinatorischen Bedeutung der Binomialkoeffizienten erklären und damit Wahrscheinlichkeiten berechnen.
• Ich weiß, dass die Binomialverteilung die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen X ist, wenn X die Anzahl der Treffer in einer Bernoulli-Kette beschreibt.
• Ich kann erläutern, dass der Binomialkoeffizient die Anzahl angibt, auf wie viele verschiedene Arten man k Objekte aus einer Menge von n verschiedenen Objekten ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge auswählen kann.
• Ich kenne die Bernoulli-Formel $P(X=r)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{r}\right)\cdot p^r\cdot {(1-p)}^{n-r}r=0,\dots ,\mathrm{n }$und kann sie anwenden, um die Wahrscheinlichkeit für "genau r Treffer" bei einer Trefferwahrscheinlichkeit p und einer Kette der Länge n zu berechnen.
• Ich kann diese Wahrscheinlichkeit mit Hilfe einer Tabelle zur Binomialverteilung bestimmen.
• Ich kann die Bernoulli-Formel anwenden, um die Wahrscheinlichkeit für "höchstens r Treffer" bei einer Trefferwahrscheinlichkeit p und einer Kette der Länge n zu berechnen.
• Ich kann diese Wahrscheinlichkeit mit Hilfe einer Tabelle zur summierten Binomialverteilung bestimmen.
• Ich kann die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten für "mehr als r Treffer", "mindestens r Treffer" usw. die beiden Fälle "genau r Treffer" oder "höchstens r Treffer" zurückführen.
• Ich kann den Einfluss der Parameter n und p auf Binomialverteilungen und ihre graphische Darstellung beschreiben.
• Ich kann bei gegebenen Werten für n und p den Erwartungswert und die Standardabweichung von X berechnen.
• Ich weiß, dass der Graph einer Binomialverteilung Glockenform hat.
• Ich kann erläutern, dass der Graph mit wachsendem n breiter und flacher wird.
• Ich kann erläutern, dass für $p\to 0$ und $p\to 1$ der Graph schmaler und höher wird.
• Ich kann begründen, dass das Maximum des Graphen bei $\mu$ liegt.
• Ich kann begründen, dass die Breite der Glocke mit wachsendem $\sigma$ zunimmt.
• Ich kann den Graph einer Binomialverteilung ausgehend von $\mu$ und $\sigma$ skizzieren.
• Ich kann die Sigma-Regeln für prognostische Aussagen nutzen.
• Ich kann Binomialverteilungen und ihre Kenngrößen zur Lösung von Problemstellungen nutzen.
• Ich kann Sachaufgaben die Werte für n und p entnehmen und die Wahrscheinlichkeiten für beliebige Ereignisse berechnen.

• Ich kann Hypothesentests bezogen auf den Sachkontext und das Erkenntnisinteresse interpretieren.
• Ich kann erläutern, dass ein Hypothesentest dem Schluss von einer Stichprobe auf die Grundgesamtheit dient.
• ich kann zwischen einem einseitigen und einem zweiseitigen Hypothesentest unterscheiden und diese jeweils an einem Beispiel erläutern.
• Ich kann erläutern, dass und wie die Wahl von Nullhypothese und Alternativhypothese vom Erkenntnisinteresse abhängt.
• Ich weiß, dass sich Annahme- und Ablehnungsbereich auf die Nullhypothese beziehen und sie in Beziehung zu einer Entscheidungsregel setzen.
• Ich kann bei gegebenem Signifikanzniveau mit Hilfe der Sigma-Regeln Annahme- und Ablehnungsbereich berechnen.
• Ich kann bei gegebenem Signifikanzniveau mit Hilfe einer Tabelle zur Binomialverteilung Annahme- und Ablehnungsbereich ermitteln.
• Ich kann bei gegebener Entscheidungsregel Annahme- und Ablehnungsbereich ermitteln und überprüfen, ob ein vorgegebenes Signifikanzniveau eingehalten wird.
• Ich kann Fehler 1. und 2. Art beschreiben und beurteilen.
• Ich weiß, dass das Signifikanzniveau den maximalen Fehler 1. Art angibt.
• Ich kann den Fehler 1. Art ermitteln und seine Bedeutung allgemein und an einem Beispiel im Sachkontext erläutern.
• Ich kann die Bedeutung des Fehlers 2. Art allgemein und an einem Beispiel im Sachkontext erläutern.
• Ich kann den Fehler 2. Art berechnen und weiß, dass ich dazu die "wahre" Wahrscheinlichkeit p kennen oder geeignet wählen muss.

• Ich kann diskrete und stetige Zufallsgrößen unterscheiden.
• Ich kann die Verteilungsfunktion als Integralfunktion deuten.
• Ich kann die Begriffe Verteilungsfunktion und Wahrscheinlichkeitsdichte mit dem Begriff Wahrscheinlichkeitsverteilung in Beziehung setzen und von diesem abgrenzen.
• Ich kann erläutern, in welchem Zusammenhang die Summenbildung z.B. bei der Binomialverteilung mit der Integration bei einer Wahrscheinlichkeitsdichte steht.
• Ich kann stochastische Situationen untersuchen, die zu annähernd normalverteilten Zufallsgrößen führen.
• Ich kann mit Hilfe des Satzes von de Moivre-Laplace die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen für binomialverteilte Zufallsgrößen näherungsweise berechnen.
• Ich kann den Einfluss der Parameter $\mathbf{\mu }$ und $\mathbf{\sigma }$ auf die Normalverteilung und die graphische Darstellung ihrer Dichtefunktion (Gauß'sche Glockenkurve) beschreiben.
• Ich weiß, dass der Graph einer Normalverteilung Glockenform hat.
• Ich kann begründen, dass das Maximum des Graphen bei $\mu$ liegt.
• Ich kann begründen, dass die Breite der Glocke mit wachsendem $\sigma$ zunimmt.
• Ich kann den Graph einer Normalverteilung ausgehend von $\mu$ und $\sigma$ skizzieren.

Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunke):

• Modellieren
  Die Schülerinnen und Schüler
  • erfassen und strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit Blick auf eine konkrete Fragestellung (Strukturieren)
  • treffen geeignete Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen realer Situationen vor.
  • übersetzten Sachsituationen in mathematische Modelle.
  • erarbeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Modells.
  • beziehen die erabeitete Lösung wieder auf die Sachsituation (Validieren)

• Werkzeuge nutzen
  Die Schülerinnen und Schüler
  • nutzen Tabellenkalkulation und grafikfähige Taschenrechner
  • nutzen verschiedene digitale Werkzeuge zum Erzeugen von Zufallszahlen.
  • verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum Berechnen von Wahrscheinlichkeiten bei binomialverteilten Zufallsgrößen.
  • nutzen verschiedene digitale Werkzeuge zum Erstellen von Histogrammen bei Binomialverteilungen.
  • verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zur Untersuchung von Wahrscheinlichkeitsverteilungen beim Variieren der Parameter.
  • setzen verschiedene digitale Werkzeuge zur Berechnung der Kennzahlen von Binomialverteilungen ein.
  • verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei normalverteilten Zufallsgrößen.
  • treffen geeignete Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen realer Situationen vor.