Vorbemerkung

• Ein zentraler Gegenstand, mit dem sich die Geometrie beschäftigt, ist der Winkel. Dieses Unterrichtsvorhaben soll die Schüler in die Lage versetzen, geometrische Objekte und Situtationen im Raum rechnerisch in Bezug auf Winkel und Orthogonalität zu untersuchen. Dabei wird insbesondere Augenmerk auf die Berechnung von Schnittwinkeln zwischen Geraden, Gerade und Ebene und zwischen Ebenen gelegt. Bei der Modellierung realer Situationen lassen sich damit zum Beispiel Neigungswinkel im Gelände, Peilungswinkel oder Winkel zwischen Flugbahnen berechnen. Die Möglichkeit der Berechnung orthogonaler Vektoren bildet die Grundlage für die Einführung der Normalenform zur Beschreibung einer Ebene. Hierauf bauen abschließend verschiedene Abstandsberechnungen auf.

Angestrebter Kompetenzerwerb

• Fettdruck: Vom Kernlehrplan verpflichtend vorgegebene Kompetenzerwartungen.
• Fettdruck und Kursivdruck: Vom Kernlehrplan verpflichtend vorgegebene Kompetenzerwartungen, die über das Grundkursniveau hinausgehen.
• Normaldruck: Schulspezifische Kompetenzerwartungen.

• Ich kenne die Definition des Skalarprodukts.
• Ich kann das Skalarprodukt berechnen.
• Ich kann das Skalarprodukt geometrisch deuten als Produkt aus der Länge des ersten Vektors und der Länge der Projektion des zweiten Vektors auf den ersten.
• Ich weiß, dass für das Skalarprodukt ein Kommutativ-, ein Assoziativ- und ein Distributivgesetz gelten und kann diese durch Anwendung der Definition des Skalarprodukts aus den Eigenschaften der reellen Zahlen ableiten.
• Ich kann mithilfe des Skalarprodukts geometrische Objekte und Situationen im Raum (Orthogonalität, Winkel- und Längenberechnung) untersuchen.
  • Ich kann mithilfe des Skalarprodukts den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen.
  • Ich weiß, dass das Skalarprodukt zweier Vektoren genau dann null ist, wenn die beiden Vektoren orthogonal zueinander sind.
  • Ich kann mithilfe des Skalarprodukts zwei Vektoren auf Orthogonalität überprüfen.
  • Ich kann zu einem gegebenen Vektor einen orthogonalen Vektor angeben.
  • Ich kann zu zwei gegebenen Vektoren einen orthogonalen Vektor berechnen.
  • Ich kann mithilfe des Skalarprodukts den Schnittwinkel zwischen zwei Geraden, zwischen einer Gerade und einer Ebene und zwischen zwei Ebenen berechnen.
• Ich kann Ebenen in Normalenform darstellen und kann diese zur Orientierung im Raum nutzen.
  • Ich weiß, dass eine Ebene durch einen Punkt und einen orthogonalen Vektor, einen Normalenvektor, eindeutig festgelegt ist.
  • Ich kann die Lage einer Ebene im Raum ausgehend von der Normalenform beschreiben.
  • Ich weiß, dass die Normalenform einer Ebene nicht eindeutig ist und kann zu einer gegebenen Ebene in Normalenform alternative Darstellungen in Normalenform angeben.
  • Ich kann eine in Parameterform, Koordinatenform oder Normalenform gegebene Ebene in jede der anderen beiden Formen umwandeln.
• Ich kann Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen bestimmen.
  • Ich kann eine Ebene in der Hesse'schen Normalenform darstellen.
  • Ich kann den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden (Punkt-Gerade) mit Hilfe einer zur Gerade orthogonalen Lotebene berechnen.
  • Ich kann den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene (Punkt-Ebene) mit Hilfe einer Lotgeraden und durch Anwenden einer Lösungsformel berechnen.
  • Ich kann die Berechnung des Abstandes zwischen zwei parallelen Geraden, einer Ebene und einer dazu parallelen Gerade und zwischen zwei parallelen Ebenen auf die Abstandberechnungen Punkt-Gerade bzw. Punkt-Ebene zurückführen.
  • Ich kenne einen Ansatz zur Berechnung des Abstandes zwischen zwei windschiefen Geraden und kann ihn lösen.

Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte)

• Lösen
  Die Schülerinnen und Schüler
  • entwickeln Ideen für mögliche Lösungswege,
  • nutzen heuristische Strategien und Prinzipien (z. B. Analogiebetrachtungen, Zurückführen auf Bekanntes, Verallgemeinern),
  • setzen ausgewählte Routineverfahren auch hilfsmittelfrei zur Lösung ein,
  • wählen Werkzeuge aus, die den Lösungsweg unterstützen,
  • wählen geeignete Begriffe, Zusammenhänge und Verfahren zur Problemlösung aus,
  • führen einen Lösungsplan zielgerichtet aus.