Vorbemerkung

Geraden

• Lineare Bewegungen werden z. B. bei Navigationsproblemen (Schiffe im Zweidimensionalen, Flugzeuge im Dreidimensionalen) durch Startpunkt, Zeitparameter und Geschwindigkeitsvektor beschrieben. Dabei sollten Modellierungsfragen (reale Geschwindigkeiten, Größe der Objekte, Flugebenen) einbezogen werden. Eine Vertiefung kann darin bestehen, den Betrag der Geschwindigkeit mittels einer Funktion zu variieren, z.B. zur Beschreibung einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung. In jedem Fall soll der Unterschied zwischen einer Geraden als Punktmenge (z. B. die Flugbahn) und einer Parametrisierung dieser Punktmenge als Funktion (von der Parametermenge in den Raum) herausgearbeitet werden.
• Ergänzend zum dynamischen Zugang wird die rein geometrische Frage aufgeworfen, wie eine Gerade durch zwei Punkte zu beschreiben ist. Hierbei wird herausgearbeitet, dass zwischen unterschiedlichen Parametrisierungen einer Geraden gewechselt werden kann. Durch Einschränkung des Definitionsbereichs werden Strahlen und Strecken einbezogen. Punktproben sowie die Berechnung von Schnittpunkten mit den Grundebenen erlauben die Darstellung in räumlichen Koordinatensystemen. Solche Darstellungen sollten hinreichend geübt werden.
• Auf dieser Grundlage können z. B. Schattenwürfe von Gebäuden in Parallel- und Zentralprojektion auf eine der Grundebenen berechnet und zeichnerisch dargestellt werden. Der Einsatz einer dynamischen Geometrie-Software (DGS) bietet die zusätzliche Möglichkeit, dass der Ort der Strahlenquelle variiert werden kann.

Ebenen

• Die unterschiedlichen Darstellungsformen einer Ebene mithilfe von Koordinaten-, Normalen- und Parametergleichungen wird vor dem Hintergrund ihrer geometrischen Bedeutung diskutiert. Als Ergänzung zur Koordinatenform sollte die Achsenabschnittsform thematisiert werden, die es erleichtert Ebenen zeichnerisch darzustellen. Zur Veranschaulichung der Lage von Ebenen wird eine DGS verwendet.
• Vertiefend (und über den Kernlehrplan hinausgehend) kann bei genügend zur Verfügung stehender Zeit die Lösungsmenge eines Systems von Koordinatengleichungen als Schnittmenge von Ebenen geometrisch gedeutet werden. Dabei wird die Matrix-Vektor-Schreibweise genutzt. Dies bietet weitere Möglichkeiten, bekannte mathematische Sachverhalte zu vernetzen.
• Als weitere Darstellungsform wird zudem die Parameterform der Ebenengleichung entwickelt. Als Einstiegskontext kann eine Dachkonstruktion mit Sparren und Querlatten dienen. Diese bildet ein schiefwinkliges Koordinatensystem in der Ebene. Damit wird die Idee der Koordinatisierung aufgegriffen. Durch Einschränkung des Definitionsbereichs können Figuren beschrieben werden. So können auch anspruchsvollere Modellierungsaufgaben gestellt werden.
• Ein Wechsel zwischen Koordinatenform und Parameterform der Ebene ist über die drei Achsenabschnitte möglich. Alternativ wird ein Normalenvektor mit Hilfe eines Gleichungssystems bestimmt.

Angestrebter Kompetenzerwerb

• Fettdruck: Vom Kernlehrplan verpflichtend vorgegebene Kompetenzerwartungen.
• Fettdruck und Kursivdruck: Vom Kernlehrplan verpflichtend vorgegebene Kompetenzerwartungen, die über das Grundkursniveau hinausgehen.
• Normaldruck: Schulspezifische Kompetenzerwartungen.

• Ich kann Geraden und Strecken in Parameterform darstellen.
  • Ich weiß, dass man Geraden sowohl in der Ebene, als auch im Raum mithilfe von Vektoren beschreiben kann.
  • Ich kann Geraden mithilfe der Gleichung vec(x) = vec(p)+ r*vec(u) angeben.
    • Ich weiß, dass der Vektor vec(p) Stützvektor heißt und der Ortsvektor zu einem beliebigen Punkt P ist, der auf der Geraden liegt.
    • Ein weiß, dass der Vektor vec(u) Richtungsvektor heißt.
    • Ich weiß, dass man für den Parameter r alle reellen Zahlen einsetzen darf.
    • Ich weiß, dass eine Gerade durch mehrere Gleichungen beschrieben werden kann. Dabei kann der Stützvektor jeweils verschieden sein. Die Richtungsvektoren müssen jedoch Vielfache voneinander sein.
  • Ich kann Geraden in der Ebene und im Raum zeichnen.
  • Ich kann Punkte angeben, die auf der Geraden liegen.
  • Ich weiß, wie man eine Punktprobe durchführt.
  • Ich kann die Gleichung einer Geraden aus zwei Punkten aufstellen, die auf der Geraden liegen.
  • Ich weiß, dass eine Strecke im Gegensatz zu einer Geraden zwei Endpunkte besitzt. Als Parameter dürfen daher nicht alle Werte aus den reellen Zahlen, sondern nur die Werte eines abgeschlossenen Intervalls eingesetzt werden.
• Ich kann den Parameter von Geradengleichungen im Sachkontext interpretieren.
  • Ich kann die Bahn einer gleichförmigen Bewegung durch eine Gerade, Halbgerade oder Strecke in Parameterform beschreiben.
    • Dabei ist der Stützvektor vec(p) der Ortsvektor zu einem beliebigen Bahnpunkt.
    • Für den Parameter r dürfen ggf. nur Werte eines definierten Intervalls eingesetzt werden.
    • Der Richtungsvektor vec(u) beschreibt die Richtung, in die sich ein Körper bewegt.
  • Ich weiß, dass man gleichförmige Bewegungen durch einen Startpunkt, einen Zeitparameter und einen Geschwindigkeitsvektor beschreiben kann.
    • Dabei ist der Stützvektor vec(p) der Ortsvektor zum Startpunkt P.
    • Der Parameter r gibt die Zeit (in s, min, h, ...) an.
    • Der Betrag des Richtungsvektors |vec(u)| gibt die Geschwindigkeit in (in m/s, km/h, ...) an.
  • Ich weiß, dass Seiten von Flächen und Kanten von Körpern sowie weitere besondere Linien, wie z.B. Diagonalen, Strecken darstellen, die mithilfe von Parametergleichungen dargestellt werden können.
• Ich kann Ebenen in Koordinaten- und in Parameterform darstellen.
  • Ich weiß, dass man Ebenen mithilfe einer Koordinatengleichung der Form ax₁ + bx₂ + cx₃ = d beschreiben kann, bei der mindestens einer der Koeffizienten a, b, c ungleich null ist.
    • Ich weiß, dass die Koeffizienten a, b, und c die Komponenten eines Normelenvektors der Ebene E beschreiben.
    • Ich weiß, dass die gleiche Ebene durch mehrere Koordinatengleichungen beschrieben werden kann.
    • Ich kann die Koordinatengleichung durch Angaben eines Punktes und eines Normalenvektors der Ebene ermitteln.
    • Ich kann die Koordinatengleichung aus drei Punkten der Ebene aufstellen.
    • Ich kann die Koordinatengleichung durch Umwandlung der Normalengleichung (vec(x) - vec(p))*vec(n) = 0 gewinnen.
  • Ich weiß, dass man eine Ebene mittels Parameterform vec(x) = vec(p) + r*vec(u) + s*vec(v) beschreiben kann.
    • Ich weiß, dass der Vektor p Stützvektor heißt und die beiden Vektoren vec(u) und vec(v) als Spannvektoren bezeichnet werden.
    • Ich weiß, dass die Spannvektoren nicht dem Nullvektor entsprechen und zueinander parallel sein dürfen.
    • Ich weiß, dass man für die Parameter r und s alle reellen Zahlen einsetzten darf.
    • Ich weiß, dass die gleiche Ebene durch mehrere Parametergleichungen beschrieben werden kann.
    • Ich kann die Parameterleichung aus drei Punkten aufstellen, die in der Ebene liegen. Diese dürfen jedoch nicht auf einer Geraden liegen.
    • Ich kann eine Punktprobe durchführen.
  • Ich kann die Koordinaten- und Parameterform einer Ebene ineinander umwandeln.
  • Ich kann Ausschnitte von Ebenen zeichnen.
• Ich kann geradlinig begrenzte Punktmengen in Parameterform darstellen.
  • Ich kann alle Punkte, die innerhalb einer Figur (z.B. Dreiecke, Vierecke, ...) liegen, mithilfe der Parameterform durch Formulierung von Nebenbedingungen für r und s beschreiben.

Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunkte)

• Modellieren
  Die Schülerinnen und Schüler
  
  • erfassen und strukturieren zunehmend komplexe Sachsituationen mit Blick auf eine konkrete Fragestellung (Strukturieren)
  • treffen Annahmen und nehmen begründet Vereinfachungen einer realen Situation vor (Strukturieren)
  • übersetzen zunehmend komplexe Sachsituationen in mathematische Modelle (Mathematisieren)
  • erarbeiten mithilfe mathematischer Kenntnisse und Fertigkeiten eine Lösung innerhalb des mathematischen Modells (Mathematisieren)
  • beurteilen die Angemessenheit aufgestellter (ggf. konkurrierender) Modelle für die Fragestellung (Validieren)
  • verbessern aufgestellte Modelle mit Blick auf die Fragestellung (Validieren)

• Werkzeuge
  Die Schülerinnen und Schüler
  • nutzen Geodreieck, geometrische Modelle (mathematische Sammlung) und DGS
  • verwenden verschiedene digitale Werkzeuge (GTR, Vektoris3D, u.a.) zum
    • grafischen Darstellen von Ortsvektoren, Vektorsummen und Geraden
    • Darstellen von Objekten im Raum

• Argumentieren
  Die Schülerinnen und Schüler
  • stellen Zusammenhänge zwischen Begriffen her (Begründen)
  • nutzen mathematische Regeln bzw. Sätze und sachlogische Argumente für Begründungen (Begründen)
  • überprüfen, inwiefern Ergebnisse, Begriffe und Regeln verallgemeinert werden können (Beurteilen)

• Kommunizieren
  Die Schülerinnen und Schüler
  • erläutern mathematische Begriffe in theoretischen und in Sachzusammenhängen (Rezipieren)
  • formulieren eigene Überlegungen und beschreiben eigene Lösungswege (Produzieren)
  • wechseln flexibel zwischen mathematischen Darstellungsformen (Produzieren)