Vorbemerkung

• Die Schüler sollen entdecken, dass die Bestandsfunktion eine Stammfunktion der Änderungsrate ist.
• Die Graphen der Änderungsrate und der Bestandsfunktion können die Schülerinnen und Schüler mit Hilfe einer Tabellenkalkulation und eines Funktionenplotters gewinnen, vergleichen und Beziehungen zwischen diesen herstellen.
• Fragen, wie die Genauigkeit der Näherung erhöht werden kann, geben Anlass zu anschaulichen Grenzwertüberlegungen.
• Da der Rekonstruktionsprozess auch bei einer abstrakt gegebenen Randfunktion möglich ist, wird für Bestandsfunktionen der Fachbegriff Integralfunktion eingeführt und der Zusammenhang zwischen Rand- und Integralfunktion im Hauptsatz formuliert (ggf. auch im Lehrervortrag).
• In den Anwendungen steht mit dem Hauptsatz neben dem numerischen Verfahren ein alternativer Lösungsweg zur Berechnung von Gesamtbeständen zur Verfügung.
• Davon abgegrenzt wird die Berechnung von Flächeninhalten, bei der auch Intervalladditivität und Linearität (bei der Berechnung von Flächen zwischen Kurven) thematisiert werden. Bei der Berechnung der Flächeninhalte zwischen Graphen werden die Schnittstellen in der Regel numerisch mit dem GTR bestimmt.
• Bei der Berechnung der Volumina wird stark auf Analogien zur Flächenberechnung verwiesen. (Gedanklich wird mit einem „Eierschneider“ der Rotationskörper in berechenbare Zylinder zerlegt, analog den Rechtecken oder Trapezen bei der Flächenberechnung. Auch die jeweiligen Summenformeln weisen Entsprechungen auf.)
• Mit der Mittelwertberechnung kann bei entsprechend zur Verfügung stehender Zeit (über den Kernlehrplan hinausgehend) noch eine weitere wichtige Grundvorstellung des Integrals erarbeitet werden.

Angestrebter Kompetenzerwerb

• Fettdruck: Vom Kernlehrplan verpflichtend vorgegebene Kompetenzerwartungen.
• Fettdruck und Kursivdruck: Vom Kernlehrplan verpflichtend vorgegebene Kompetenzerwartungen, die über das Grundkursniveau hinausgehen.
• Normaldruck: Schulspezifische Kompetenzerwartungen.

• Ich kann an geeigneten Beispielen den Übergang von der Produktsumme zum Integral auf der Grundlage eines propädeutischen Grenzwertbegriffs erläutern und vollziehen.
  • Ich kann folgende Zusammenhänge richtig erläutern und in Sachzusammenhängen anwenden:
  • Ich kenne folgende Schritte zur näherungsweisen Berechnung des Inhalts A der Fläche zwischen dem Graphen von f und der x-Achse und den Begriff "Produktsumme":
    • Gegeben ist die stetige Funktion f mit f(x) ≥ 0 für x ∈ [a ; b]. Zur näherungsweisen Berechnung des Inhaltes A der Fläche zwischen dem Grapgen von f und der x-Achse über dem Intervall [a ; b] kann man so vorgehen:
      • Man wählt eine feste Zahl n und unterteilt das Intervall [a ; b] in n  gleichlange Teilintervalle der Breite h = (b–a)/n.
      • Aus jedem Teilintervall wählt man eine Stelle x_i für i = 1, 2, 3, ... , n und berechnet den zugehörigen Funktionswert f(x_i).
      • Man berechnet als Näherungswert für den Flächeninhalt die „Produktumme“
        S_n = h · f(x₁) + h · f(x₂) + ... + h · f(x_n) = h · [f(x₁) + f(x₂) + ... + f(x_n)].
  • Ich kenne die besonderen Produktsummen "Untersumme" und "Obersumme", mit denen A "nach unten" bzw "nach oben" abgeschätz wird. Bei der Untersumme wählt man für die Höhe jedes Rechtecks den kleinsten Funktionswert des entsprechenden Teilintervalls, bei der Obersumme den größten.
  • Ich kann folgende Definition des Integrals einer Funktion f richtig angeben und erläutern:
    • Die Funktion f sei auf dem Intervall [a ; b] stetig und S_n eine beliebige Produktsumme mit S_n = h·f(x₁) + h·f(x₂) + ... + h·f(x_n)  und h = (b–a)/n. Dann heißt der Grenzwert das Integral der Funktion f zwischen den Grenzen a und b. Man schreibt dafür:
    • Ich kann folgende mathematische Bezeichnungen im Zusammenhang mit dem Integral richtig benennen:
      • Die Integralschreibweise wurde von Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 bis 1716) eingeführt.
      • Das Integralzeichen ist aus einem S (von Summa) entstanden.
      • dx steht für immer kleiner werdende Intervallbreiten h.
      • Im Integralausdruck wird für
        • f(x) die Bezeichnung Integrand und für
        • x die Bezeichnung Integrationsvariable verwendet.
        • Die Grenzen a und b heißen untere und obere Integrationsgrenze.

• Ich kann den Zusammenhang zwischen Änderungsrate und Integralfunktion erläutern.
  • Ich kann folgende Definition der Integralfunktion richtig angeben und erläutern:
    • Die Funktion f: t → f(t) sei in einem Intervall I stetig und a ∈ I. Dann heißt die Funktion J_a mit   für x ∈ I Integralfunktion (Flächeninhaltsfunktion) von f zur unteren Grenze a.
  • Ich kann folgende Definition einer Stammfunktion richtig angeben und erläutern:
    • Eine Funktion F heißt Stammfunktion zu einer Funktion f auf einem Intervall I, wenn für alle x ∈ I gilt: F´(x) = f(x).
  • Ich kann folgenden mathematischen Satz über Stammfunktionen richtig angeben und erläutern:
    • Ist F eine Stammfunktion von f in I, so gilt für alle weiteren Stammfunktionen G von f in I: G(x) = F(x) + c , c ∈ I mit einer Konstanten c.

• Ich kann den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung unter Verwendung eines anschaulichen Stetigkeitsbegriffs begründen.
  • Ich kann die zwei Teile des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung richtig angeben und erläutern:
    • Die Funktion f sei im Intervall [a ; b] stetig. Dann gilt:
      • Teil 1: Existenz von Stammfunktionen
        • Die Integralfunktion (Flächeninhaltsfunktion) ist eine Stammfunktion von f.
        • Sie ist für alle x aus (a;b) differenzierbar, und es gilt:
      • Teil 2: Integralberechnung
        • Mit einer beliebigen Stammfunktion F von f kann das bestimmte Integral auf folgende Art berechnet werden:

• Ich kann Stammfunktionen ganzrationaler Funktionen bestimmen.
  • Ich kann folgenden mathematischen Satz richtig angeben und anwenden:

• Ich kann die natürliche Logarithmusfunktion als Stammfunktion der Funktion  x → 1/x nutzen.
• Ich kann die Intervalladditivität und Linearität von Integralen nutzen.
  • Ich kann folgenden mathematischen Satz richtig angeben und anwenden:
    • Sind die Funktionen f und g auf dem Intervall I stetig und sind a , b, c ∈ I sowie r eine reelle Zahl, so gilt:
      • Intervalladditivität des Integral
        
      • Linearität des Integrals
        

• Ich kann den Gesamtbestand oder Gesamteffekt einer Größe aus der Änderungsrate ermittlen.
  • Ich kann folgende zwei mathematische Sätze richtig angeben und in Sachkontexten anwenden:
    • Satz 1: Ist m(t) mit t ∈ [t₁; t₂] die momentane Änderungsrate einer Größe G, dann erhält man die Gesamtänderung G(t₂)–G(t₁) der Größe im Intervall [t₁; t₂] als Integral:
      
    • Satz 2: Ist m(t) mit t ∈ [t₁; t₂] die momentane Änderungsrate einer Größe G und G(t₁) der Bestand der Größe zum Zeitpunkt t₁, dann gilt für den Bestand der Größe zum Zeitpunkt t₂:
      

• Ich kann Flächeninhalte und Volumina von Körpern bestimmen, die durch die Rotation um die Abszisse entstehen, mithilfe von bestimmten und uneigentlichen Integralen.
  • Ich kann folgende Schritte zur Flächenberechnung richtig angeben und anwenden:
    • Bei der Berechnung des Flächeninhalts zwischen dem Graphen einer Funktion f und der x-Achse über dem Intervall [a;b] geht man so vor:
      • Man bestimmt die Nullstellen von f auf [a;b].
      • Man untersucht, welches Vorzeichen f(x) in den Teilintervallen hat.
      • Man bestimmt die Inhalte der Teilflächen und addiert sie.
    • Wird eine Fläche über dem Intervall [a;b] von den Graphen zweier Funktionen f und g begrenzt und gilt f(x) ≥ g(x) für alle x ∈ [a;b], dann gilt für ihren Inhalt A:
      
  • Ich kann folgenden mathematischen Satz richtig angeben und anwenden:
    • Die Funktion f sei auf [a;b] stetig. Rotiert die Fläche unter dem Graphen von f über dem Intervall [a;b] um die x-Achse (Abszisse), so entsteht ein Rotationskörper. Sein Volumen V beträgt
      

• Ich kann mithilfe des Integrals Mittelwerte von Funktionen bestimmen.
  • Ich kann die folgende Definition richtig benennen und anwenden:
    • Die Zahl heißt Mittelwert der Funktion f auf [a;b]

Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunke):

• Argumentieren
  Die Schülerinnen und Schüler
  • stellen Vermutungen auf (Vermuten)
  • unterstützen Vermutungen beispielgebunden (Vermuten)
  • präzisieren Vermutungen mithilfe von Fachbegriffen und unter Berücksichtigung der logischen Struktur (Vermuten)
  • stellen Zusammenhänge zwischen Begriffen her (Begründen)

• Werkzeuge nutzen
  Die Schülerinnen und Schüler
  • Verwenden verschiedene digitale Werkzeuge zum
    • Messen von Flächeninhalten zwischen Funktionsgraph und Abszisse
    • Ermitteln des Wertes eines bestimmten Integrals