Schulprogramm Fachlehrpläne Mathematik Voraussetzungen SII
Schulinterner Lehrplan für das Fach Mathematik - Voraussetzungen für eine erfolgreiche Mitarbeit in der Sekundarstufe II

I  Lernbereich Algebra - Teil Mengenlehre

Die Schüler(innen)
  1. kennen die grundlegenden Zahlbereiche (N, Z, Q und R), können gegebene Zahlen den Zahlbereichen zuordnen und die Zahlbereiche durch Zahlbeispiele voneinander abgrenzen.
  2. können zwischen abgeschlossenen, offenen und halboffenen Intervallen begrifflich unterscheiden und wissen, wie Intervalle notiert werden (Beispiele: [-2; 3]]0; 1[[4; ∞[)
  3. kennen die aufzählende Form der Mengenbildung (Beispiel: {-1; 0; 1; 2}).
  4. kennen die beschreibende Form der Mengenbildung (Beispiel: {x ∈ R | x ist durch 7 teilbar}).
  5. kennen die Symbole für die Standard-Zahlenmengen (s. 1.)
  6. kennen die Symbole für Vereinigungs-, Durchschnitts- und Differenzmengenbildung und können die zugehörigen Mengenoperationen ausführen und zur Beschreibung von Zahlenmengen einsetzen.

II Lernbereich Algebra - Teil Arithmetik

Die Schüler(innen)
  1. können die vier Grundrechenarten mit rationalen Zahlen in gewöhnlicher oder dezimaler Bruchdarstellung ohne Taschenrechner sicher ausführen.
  2. können gewöhnliche Brüche durch Division in Dezimalbrüche und abbrechende Dezimalbrüche in gewöhnliche Brüche umwandeln.
  3. können regelgerecht Runden und zu einer gerundeten Zahl das repräsentierte Intervall angeben.
  4. können den Wert rationaler Terme überschlagsmäßig im Kopf bestimmen.
  5. können Zahlen in wissenschaftlicher Schreibweise notieren, in den Taschenrechner oder eine Tabellenkalkulation eingeben und vom Taschenrechner oder aus einer Tabellenkalkulation ablesen.
  6. können Längen, Massen, Zeiten, Flächen und Volumina mit geeigneten Einheiten sachgerecht darstellen und in verwandte Maßeinheiten umwandeln.
  7. können im Rahmen einer proportionalen oder umgekehrt proportionalen Zuordnung zwischen zwei Größen Schlussrechnungen durchführen und sachgerecht (z.B. in tabellarischer Form) darstellen.
  8. können eine (umgekehrt) proportionale Zuordnung durch eine Gleichung der Form y = kx bzw. y = k/x beschreiben, den Proportionalitätsfaktor k (einschließlich der zugehörigen Maßeinheit) aus einem Wertepaar gewinnen und seine Bedeutung kontextbezogen erläutern.
  9. können Prozentwert (W), Grundwert (G) und Prozentsatz (p) in gebenen Sachzusammenhängen identifizieren und sowohl durch Schlussrechnung als auch unter Anwendung der Basisformel p = W/G als Term notieren oder (z.B. direkt mit dem Taschenrechner) berechnen.
  10. können prozentuale Zu- und Abnahmen im Sinne der Terme G(1+p) bzw. G(1–p) umsetzen.

III Lernbereich Algebra - Teil Terme

Die Schüler(innen)
  1. kennen die Begriffe Kommutativ- Assoziativ- und Distributivgesetz sowie ihre algebraische Bedeutung und Gültigkeitsbereiche und können diese Gesetze bei Termumformungen sinnvoll einsetzen.
  2. können die grundlegenden Rechenregeln der Bruchrechnung bei der Umformung von Termen einsetzen
    (wichtige Beispiele: (a + b)/c = a/c + b/c ; c(a/b) = (ca)/b = (c/b)a ; (a/b)/c = a/(bc) ; a/(b/c) = (ac)/b)
  3. erkennen in einer Summe von Termen gemeinsame Faktoren und können diese korrekt ausklammern.
  4. können einen Term der Form  x2 + px + q  faktorisieren, falls er faktorisierbar ist.
  5. kennen die Identitäten  x-n = 1/(xn) = (1/x)n ;
  6. kennen die Identitäten x-1 = 1/x ; x-2 = 1/(x2) ; √(x) = x1/2 ; x0 = 1
  7. können mit Potenzen mit rationalen Exponenten rechnen; beherrschen insbesondere die beiden folgenden Umformungen:  (a/b)-n = (b/a)na/(bc-n) = (acn)/b.
  8. wissen, dass Kürzen und Wurzelziehen aus Summanden schwerwiegende Verstöße gegen das algebraische Regelwerk sind.
  9. können den Definitionsbereich eines einfachen Bruch-, Wurzel-, Potenz- sowie Logarithmusterms bestimmen.
  10. kennen die Äquivalenz  x = logb(y) ⟺ y = bx  und können sie situationsgerecht anwenden.
  11. kennen die Eulersche Zahl e und können beliebige Logarithmen durch natürliche Logarithmen ausdrücken und auf diese Weise mit dem Taschenrechner bestimmen.


IV Lernbereich Algebra - Teil Gleichungen

Die Schüler(innen)
  1. können lineare Gleichungen auch mit Formvariablen (mit den zugehörigen Fallunterscheidungen) lösen.
  2. können einfache Bruchgleichungen (z.B. Linsenformel, Verhältnisgleichungen) auch mit Formvariablen lösen.
  3. können mit Hilfe der Diskriminante  b2 - 4ac  die Lösbarkeit einen quadratischen Gleichung (auch einer Gleichung mit Formvariablen) der Form ax2 + bx + c = 0 untersuchen und die Lösungen der Gleichung angeben (Beispiel: Auflösung der Oberflächenformel für einen Zylinder nach dem Radius r).
  4. können mit Hilfe der Diskriminante Parameter einer quadratischen Gleichung so bestimmen, dass die Gleichung genau zwei (eine oder keine) Lösung(en) besitzt.
  5. können quadratische Gleichungen mit Hilfe eines geeigneten Taschenrechners lösen.
  6. können einfache Exponentialgleichungen mit Hilfe von Logarithmen lösen.
  7. können ein Gleichungssystem, das aus einfachen Gleichungen verschiedener Kategorien besteht, durch Substitution lösen und die Lösung in nachvollziehbarer Weise darstellen.
  8. können ein lineares Gleichungssystem auch mit Hilfe des Additionsverfahrens lösen.

V  Lernbereich Koordinatengeometrie

Die Schüler(innen)
  1. wissen, dass Gleichungen in zwei Variablen (x und y) Punktmengen in der Koordinatenebene beschreiben.
  2. wissen, dass Gleichungen in zwei Variablen Geraden beschreiben, wenn die Variablen nur in erster Potenz auftreten.
  3. wissen, dass eine gegebene Gerade durch eine Funktionsgleichung der Form y = mx + n beschrieben werden kann, wenn sie nicht parallel zu oder identisch mit der Ordinate ist.
  4. wissen, dass eine Gerade durch eine Gleichung der Form x = a beschrieben werden kann, wenn sie parallel zu oder identisch mit der Ordinate ist.
  5. wissen, dass eine Gerade durch eine Gleichung der Form y = b beschrieben werden kann, wenn sie parallel zu oder identisch mit der Abszisse ist.
  6. können die Funktionsgleichung einer Geraden (mit angemessener Genauigkeit) aus einer Zeichnung ablesen.
  7. können eine durch eine Funktionsgleichung gegebene Gerade mit Hilfe eines (angemessen großen) Steigungsdreiecks schnell zeichnen.
  8. können die Gleichung einer Geraden sofort niederschreiben, wenn die Koordinaten eines Geradenpunktes (x1;y1) und die Steigung m bekannt sind [Punktsteigungsgleichung: y - y1 = m(x - x1)].
  9. können die Steigung einer Geraden mit Hilfe des Koordinatendifferenzenquotienten zweier Geradenpunkte berechnen.
  10. können für je zwei Punkte ihren Abstand mit Hilfe der Euklidischen Abstandsformel berechnen.
  11. können, falls ein Punkt durch seine Koordinaten und ein geometrisches Objekt durch seine Gleichung gegeben sind, überprüfen, ob der Punkt zu diesem Objekt gehört [Punktprobe].
  12. können mit dem Punktprobenansatz eine fehlende Koordinate eines Objektpunktes bestimmen, falls die Gleichung des Objektes gegeben ist.
  13. können mit dem Punktprobenansatz einen fehlenden Parameter einer Objektgleichung bestimmen, falls die Koordinaten eines Objektpunktes gegeben sind.
  14. können, falls zwei geometrische Objekte durch ihre Gleichungen gegeben sind, mit Hilfe des Schnittpunktansatzes [Aufstellen und Lösen eines Gleichungssystems mit den Variablen x und y durch Substitution] die Koordinaten der gemeinsamen Punkte dieser Objekte bestimmen.

VI  Lernbereich Funktionen

Die Schüler(innen)
  1. können eine Funktion modellhaft als Werteproduzentin beschreiben.
  2. zwischen Argumenten und Funktionswerten unterscheiden.
  3. wissen, dass eine Funktion einem Argument genau einen Funktionswert zuordnet.
  4. können mit Hilfe des Namens einer Funktion den Funktionswert eines Arguments bezeichnen.
  5. können, falls eine Funktion durch einen Term gegeben ist, diesen Term mit einer beliebigen Argumentvariablen notieren und mit Hilfe des Namens der Funktion bezeichnen.
  6. können einen Variablenterm als Funktionsterm interpretieren und unter Bezugnahme auf den Term Beschränkungen für die Zulassung von Argumenten formulieren.
  7. können mit Hilfe des Funktionsterms zu einer vorgegebenen Liste von Argumenten eine Wertetabelle erstellen.
  8. können in einen Funktionsterm (auch solche) Variablenterme einsetzen (, die die Argumentvariable enthalten).
  9. können unter Verwendung einer gegebenen Wertetabelle den Graphen einer Funktion plotten.
  10. können anhand eines Funktionsgraphen Zuordnungen zwischen Argumenten und Funktionswerten illustrieren.
  11. können ein gegebenes geometrisches Objekt visuell hinsichtlich der Funktionsgrapheneigenschaft überprüfen („Mentaler Vertikalentest“).
  12. können mit Hilfe eines gegebenen Funktionsterms f(x) die Funktionsgleichung y = f(x) des zugehörigen Funktionsgraphen notieren.
  13. wissen, wie aus einer impliziten Gleichung eines Funktionsgraphen (z.B. 12x2 + 3y = 6) der Term der Funktion durch Auflösen nach der Wertevariablen ermittelt werden kann.
  14. wissen, wie die Zugehörigkeit eines Punktes zu einem Funktionsgraphen mit Hilfe seiner Funktionsgleichung getestet werden kann (Punktprobenansatz).
  15. wissen, wie die gemeinsamen Punkte zweier Funktionsgraphen berechnet werden können (Schnittpunktansatz über ein System zweier Funktionsgleichungen) und können ihren Ansatz begründen.
  16. kennen den Begriff Nullstelle einer Funktion und wissen, mit welchem Ansatz Nullstellen berechnet werden können.
  17. kennen den Begriffe Ordinatenabschnitt eines Graphen und wissen, mit welchem Ansatz dieser Wert berechnet werden können.
  18. wissen, dass die Umkehrbarkeit einer Funktion davon abhängt, dass jeder Funktionswert nur von genau einem Argument herrührt.
  19. wissen, dass der Term der Umkehrfunktion einer umkehrbaren Funktion durch Auflösung der Funktionsgleichung des Graphen nach der Argumentvariablen ermittelt werden kann.
  20. können den Graphen der Umkehrfunktion einer Funktion skizzieren, wenn der Graph der Funktion vorgegeben ist.
  21. wissen, das ein konstanter Funktionsterm eine abszissenparallele Gerade als Graphen besitzt.
  22. wissen, dass ein linearer Funktionsterm einen geraden Graphen erzeugt.
  23. können die Steigung (d.h. den Leitkoeffizienten) einer linearen Funktion aus zwei Wertepaaren berechnen (Differenzenquotient).
  24. wissen, dass ein quadratischer Funktionsterm einen parabelförmigen Graphen erzeugt.
  25. können mit Hilfe des Terms einer quadratischen Funktion den Scheitelpunkt ihres Graphen bestimmen.
  26. wissen das der Term x3 eine ursprungssymmetrische Parabel erzeugt.
  27. wissen, dass der Term x-1 eine Hyperbel erzeugt, die die Koordinatenachsen als Asymptoten besitzt.
  28. kennen die Graphen der Wurzelfunktionen x1/2 und x1/3 und können ihre Abstammung von den Parabeln erläutern.
  29. kennen die Graphen der Sinus-, Kosinus- und Tangensfunktion und ihre Haupteigenschaften.
  30. kennen die Graphen der Exponential- und Logarithmusfunktionen zu den Basen  1/10,  1/e,  1/2, 2, e und 10 und ihre Haupteigenschaften (Achsenschnittpunkte, Asymptoten, Monotonie).

VII  Lernbereich Geometrie - Teil Wissenschaftstheorie / Formale Logik

Die Schüler(innen)
  1. wissen, dass ein mathematischer Lehrsatz Voraussetzungen und eine Behauptung enthält.
  2. können einen mathematischen Lehrsatz in Wenn-Dann-Form notieren und auf diese Weise die Voraussetzungen und die Behauptung sprachlich voneinander trennen.
  3. wissen, dass zur Begründung oder zum Beweis eines mathematischen Lehrsatzes weder Bestandteile der Behauptung noch Folgerungen aus der Behauptung herangezogen werden dürfen.
  4. können den Kehrsatz eines Lehrsatzes bilden.
  5. wissen, dass die Gültigkeit eines Kehrsatzes eigenständig begründet werden muss.
  6. können Satz und Kehrsatz in einer Äquivalenz-Formulierung zusammenfassen (Genau-Dann-Wenn-Satz).
  7. können aus einer Äquivalenzaussage einen mathematischen Lehrsatz und seinen Kehrsatz zurückgewinnen.

VIII Lernbereich Geometrie - Teil Grundlagen

Die Schüler(innen)
  1. haben eine Vorstellung von der geometrischen Ebene und dem geometrischen Raum.
  2. haben eine Vorstellung von Parallelität und Orthogonalität.
  3. können Objekte in der Ebene oder im Raum als Punktmengen verstehen.
  4. können Geraden, Halbgeraden (Strahlen) und Strecken begrifflich unterscheiden und kennen ihre symbolischen Bezeichnungsweisen.
  5. wissen, dass ein Winkel durch zwei Halbgeraden mit gemeinsamem Anfangspunkt definiert wird und können die Begriffe Schenkel und Scheitelpunkt zur Beschreibung eines Winkels einsetzen.
  6. wissen, dass Winkel in der Regel gegen den Uhrzeigersinn gemessen werden.
  7. kennen die Drei-Punkte-Form der Winkelbezeichnung (z.B. ∠ASB) und können entsprechend benannte Winkel in einer gegebenen Figur identifizieren.
  8. kennen die Kurzform der Winkelbezeichnung mittels des Scheitelpunktnamens (erforderlichenfalls unter Hinzunahme eines Winkelfeldindexes) (z.B. Â1).
  9. können mit Hilfe des Geo-Dreiecks Winkel messen und Winkel gegebener Größe zeichnen bzw. antragen
  10. können Summen und Differenzen von Winkeln berechnen, die einen gemeinsamen Scheitelpunkt besitzen.
  11. kennen die Begriffe Scheitelwinkel, Nebenwinkel, Stufenwinkel und Wechselwinkel und können die mit diesen Begriffen verbundenen Winkelsätze anwenden.
  12. kennen den Begriff "parallel" und zwei Kriterien für die Parallelität von Geraden (keine gemeinsamen Punkte / gleich große Stufenwinkel an einer Transversalen).
  13. kennen den Begriff "orthogonal (rechtwinklig)", können diesen von den Begriffen "lotrecht, senkrecht und waagerecht" abgrenzen und kennen ein Kriterium für die Orthogonalität von Geraden (vier gleich große Schnittwinkel).
  14. wissen, dass die Summe der Innenwinkel eines Dreiecks 180° und die Summe der Innenwinkel eines Vierecks 360° beträgt, und können diesen Sachverhalt bei der Berechnung von Winkeln anwenden.
  15. wissen, dass in jedem Dreieck der längeren Seite stets der größere Winkel gegenüberliegt.
  16. wissen, dass in einem Dreieck genau dann zwei Seiten gleich lang sind, wenn es zwei gleich große Winkel hat.
  17. wissen, dass ein Dreieck genau dann gleichseitig ist, wenn alle Winkel gleich groß (60°) sind.
  18. wissen, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse die längste der drei Seiten ist

IX Lernbereich Geometrie - Teil Figurenlehre

Die Schüler(innen)
  1. können die gängigen Dreieckstypen (spitzwinklige, rechtwinklige, stumpfwinklige, gleichschenklige und gleichseitige) begrifflich unterscheiden.
  2. kennen die Kongruenzsätze für Dreiecke und können diese anwenden.
  3. können Seitenhalbierende, Mittelsenkrechten, Winkelhalbierende und Höhen eines Dreiecks begrifflich unterscheiden.
  4. wissen, dass die Mittelsenkrechte einer Strecke die Menge aller Punkte ist, die von den Endpunkten der Strecke gleichen Abstand haben.
  5. können die gängigen Viereckstypen (Trapez, Drachen, Parallelogramm, Raute, Rechteck und Quadrat) anhand der Eigenschaften der Seiten und anhand der Eigenschaften der Diagonalen unterscheiden.
  6. kennen die Symmetrieeigenschaften der gängigen Viereckstypen.
  7. kennen regelmäßige Polygone und können können regelmäßige Polygone über die Teilung des Mittelpunktswinkels herstellen.
  8. können die Lagebeziehungen, die ein Kreis und eine Gerade zueinander einnehmen können, begrifflich unterscheiden.
  9. wissen, dass ein Winkel über einem Kreisdurchmesser genau dann ein rechter Winkel ist, wenn sein Scheitel auf dem Kreisrand liegt (Satz des Thales).

X Lernbereich Geometrie - Teil Flächeninhaltslehre

Die Schüler(innen)
  1. können den Flächeninhalt der Grundfiguren Rechteck, Dreieck, Parallelogramm und Trapez berechnen.
  2. wissen, dass Polygone zur Berechnung ihres Flächeninhalts in Grundfiguren zerlegt werden dürfen.
  3. kennen die Formel für den Flächeninhalt eines Kreises und können diese in Berechnungsaufgaben anwenden.
  4. können den Flächeninhalt von Kreissektoren und -segmenten berechnen.
  5. kennen Grad- und Bogenmaß von Winkeln und können die Maße ineinander umrechnen.

XI  Lernbereich Geometrie - Teil Stereometrie

Die Schüler(innen)
  1. kennen die Grundkörper Prisma, Zylinder, Pyramide, Kegel und Kugel.
  2. können Volumen und Oberfläche dieser Körper berechnen.

XII  Lernbereich Geometrie - Teil Ähnlichkeitsgeometrie

Die Schüler(innen)
  1. kennen den Satz des Pythagoras und können ihn zur Berechnung von Streckenlängen anwenden.
  2. kennen die beiden Strahlensätze und können diese bei der Aufstellung von Streckenverhältnisgleichungen anwenden.

XIII  Lernbereich Geometrie - Teil Trigonometrie

Die Schüler(innen)
  1. können die Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck als Werte der Winkelfunktionen sin, cos und tan ausdrücken.
  2. können mit Hilfe des Einheitskreises den Funktionswert einer der Winkelfunktionen sin, cos und tan für beliebige reelle Winkel im Grad- und im Bogenmaß  graphisch darstellen.
  3. können mit Hilfe des Einheitskreises zu vorgegebenen trigonometrischen Werten die (beiden) zugehörigen Winkel darstellen.
  4. können mit Hilfe des Taschenrechners trigonometrische Funktionswerte von Winkeln im Grad- und im Bogenmaß berechnen.
  5. können mit Hilfe des Taschenrechners die Winkel in dem Intervall [0; 2π[ bestimmen, die zu einem gegebenen trigonometrischen Wert gehören (Beispiel: sin(α) = 0,72).
  6. kennen die Beziehungen  sin2(α) + cos2(α) = 1  sowie  tan(α) = sin(α)/cos(α).



Autorisation: Fachkonferenz Mathematik
Letzte Änderung: 01.10.2012