Schulprogramm Fachlehrpläne Mathematik Stufen Q1/Q2 Grundkurs
Unterrichtsvorhaben „Grundverständnis des Integralbegriffs - von der Änderungsrate zum Bestand“

Vorbemerkung

  • Das Thema ist komplementär zur Einführung der Änderungsraten. Deshalb sollten hier Kontexte, die schon dort genutzt wurden, wieder aufgegriffen werden (Geschwindigkeit – Weg, Zuflussrate von Wasser – Wassermenge).
  • Der Einstieg kann über eine Gruppenarbeit erfolgen, in der sich die Schülerinnen und Schüler selbstständig eine Breite an Kontexten, in denen von einer Änderungsrate auf den Bestand geschlossen wird, erarbeiten.
  • Mit der Schachtelung durch Ober - und Untersummen sollen die Schülerinnen und Schüler eine Strategie zur möglichst genauen näherungsweisen Berechnung des Bestands entwickeln.
  • Die entstehenden Produktsummen werden als Bilanz über orientierte Flächeninhalte interpretiert.
  • Qualitativ können die Schülerinnen und Schüler so den Graphen einer Flächeninhaltsfunktion als „Bilanzgraphen“ zu einem vorgegebenen Randfunktionsgraphen skizzieren.


Zeitrahmen Themen
2 Wochen
=
  6 Stunden

Grundverständnis des Integralbegriffs - von der Änderungsrate zum Bestand

  • Produktsummen als Rekonstruktion des Gesamtbestandes einer Größe interpetieren
  • Deutung der Inhalte von orientierten Flächen im Kontext
  • Skizzieren von Flächeninhaltsfunktionen bei gegebener Randfunktion


Angestrebter Kompetenzerwerb

  • Fettdruck: Vom Kernlehrplan verpflichtend vorgegebene Kompetenzerwartungen.
  • Normaldruck: Schulspezifische Kompetenzerwartungen.

Handlungsfeld „Integralbegriff“
  • Ich kann Produktsummen im Kontext als Rekonstruktion des Gesamtbestandes oder Gesamteffektes einer Größe interpretieren.
    • Ich kann folgende Zusammenhänge richtig erläutern und in Sachzusammenhängen anwenden:
      • Bisher war die Ableitung ein zentraler Begriff, mit deren Hilfe man die momentane Änderungsrate einer Größe bestimmen kann.
      • Jetzt ergeben sich neue Problemsituationen. Es muss umgekehrt von der momentanen Änderungsrate einer Größe auf die Gesamtänderung (Wirkung) dieser Größe geschlossen werden.
      • Kennt man die momentane Änderungsrate einer Größe (Funktion) in einem Intervall, so lassen sich die Werte dieser Größe (dieser Funktion) rekonstruieren (wiederherstellen).
      • Das lateinische Wort für Wiederherstellen ist „integrare“.
      • Die rekonstruierten Funktionswerte sind interpretierbar und berechenbar als orientierte Flächeninhalte.
      • Deshalb sucht man nach Methoden zur Bestimmung solcher Flächeninhalte.
      • Die momentane Änderungsrate "bewirkt" die Gesamtänderung.
    • Beispiele:
      • momentane Änderungsrate: Geschwindigkeit in m/s ; Gesamtbestand der Größe: Zurückgelegter Weg in m.
      • momentane Änderungsrate: Ausstoßrate eines Schadstoffs in g/min ; Gesamtbestand der Größe: Gesamte Ausstoßmenge in g.
      • momentane Änderungsrate: Zuströmende Personenrate in Personen / min ; Gesamtbestand der Größe: Gesamte Personenzahl
      • momentane Änderungsrate: Durchflussrate bei einer Pipeline in m3 /h ; Gesamtbestand der Größe: Gesamte Durchflussmenge in m3.
  • Ich kann die Inhalte von orientierten Flächen im Kontext deuten.
    • Beispiele:
      • momentane Änderungsrate: Zuflussgeschwindigkeit bzw. Abflussgeschwindigkeit einer Flüssigkeit in einen Behälter in m3 /h.
      • Deutung des Inhalts der orientierten Fläche:
        • Fläche oberhalb der Abzisse: Volumen der Flüssigkeit in m3, die insgesamt zugeflossen ist.
        • Fläche unterhalb der Abszisse: Volumen der Flüssigkeit in m3, die insgesamt abgeflossen ist.
      • momentane Änderungsrate: Geschwindigkeit eines Aufzuges in m/s in einem Hochhaus. Wenn der Aufzug nach oben fährt, ist die Geschwindigkeit positiv.
      • Deutung des Inhalts der orientierten Fläche:
        • Fläche oberhalb der Abzisse: Gesamtstrecke, die der Aufzug nach obern fährt.
        • Fläche unterhalb der Abszisse: Gesamtstrecke, die der Aufzug nach unten fährt.
  • Ich kann zu einer gegebenen Randfunktion die zugehörige Flächeninhaltsfunktion skizzieren.

Prozessbezogene Kompetenzen (Schwerpunke)

  • Kommunizieren
    Die Schülerinnen und Schüler
    • erfassen, strukturieren und formalisieren Informationen aus mathematikhaltigen Texten und Darstellungen (Rezipieren)
    • formulieren eigene Überlegungen und beschreiben eigene Lösungswege (Produzieren)
    • wählen begründet eine geeignete Darstellungsform aus (Produzieren)
    • dokumentieren Arbeitsschritte nachvollziehbar (Produzieren)
    • erstellen Ausarbeitungen und präsentieren sie (Produzieren)



Autorisation: Fachkonferenz Mathematik
Letzte Änderung: 25.03.2015